已知f(x)=x|x-a|+b.

来源：百度知道编辑：UC知道时间：2024/05/27 00:33:00

已知f(x)=x|x-a|+b.
(1)a>0,b=-2,求f(x)的单调区间;(2)若b=-2,当x∈[0,1]时,恒有f(x)<0,求实数a的取值范围。

（1）
化为分段函数
f（x）=x²-ax-a x>a
-x²+ax-a x≤a
很容易求得单调增区间为(-∞，a/2]和[a,+∞)
（2）易知f（0）=-a
若使x∈[0,1]时, f(x)<0恒成立
显然f（0）=-a<0
故a>0
如图，要分多种情况讨论
1）1≤a/2，即a≥2时
当x=1时，f(x)有最大值=f（1）=-1<0恒成立
2）a/2<1<（1+√2）a/2，即2(√2-1)<a<2时
当x=a/2时，f(x)有最大值=f（a/2）=a²/4-a<0
解之0<a<4
综合，有2(√2-1)<a<2
3）（1+√2）a/2≤1
即0<a≤2(√2-1)时
当x=1时，f(x)有最大值=f（1）=1-2a<0
故a>1/2
综合有1/2<a≤2(√2-1)
综上，a的取值范围是：a>1/2
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